标准差计算器

输入或粘贴一串数字，立即算出样本标准差和总体标准差、方差、平均数、中位数等统计量，并列出 x − x̄、(x − x̄)² 的计算过程。可以直接粘贴 Excel 或 WPS 表格的一整列。所有计算都在浏览器中完成，数据不会上传。

如何使用标准差计算器​

1. 在输入框输入数字，用逗号、空格或换行分隔，例如 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9；也可以从表格复制一列直接粘贴，最多 10,000 个数。输入完点「计算」或按 Ctrl + Enter 键计算。
2. 下方同时显示两种结果：「样本」——标准差 s、方差 s²（除以 n − 1），大多数情况用这个；「总体」——σ、σ²（除以 n），只有数据就是整个总体时才用。
3. 「统计摘要」列出个数、总和、平均数、中位数、最小值、最大值、极差、变异系数（CV）和标准误（SE）。
4. 「计算过程」用表格列出每个数与平均数的差、差的平方及平方和，再代入公式。
5. 可以选择「小数位数」（2、4、6 位或全部），点结果旁的图标可以复制。

什么是标准差​

标准差是衡量一组数据离散程度的数：标准差越小，数据越集中在平均数附近；标准差越大，数据越分散。

只看平均数两个班一样，看标准差就知道甲班成绩都很接近，乙班则高低相差很大。标准差也常用于投资（衡量收益波动和风险）、质量控制、实验误差等领域。

标准差怎么算（手算步骤）​

以 6、8、10、12、14 这 5 个数为例：

1. 求平均数：x̄ = (6 + 8 + 10 + 12 + 14) ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
2. 每个数减去平均数，再平方：

3. 平方和除以 n − 1（样本）或 n（总体），得到方差：
   • 样本方差 s² = 40 ÷ (5 − 1) = 10
   • 总体方差 σ² = 40 ÷ 5 = 8
4. 开平方，得到标准差：
   • 样本标准差 s = √10 ≈ 3.162
   • 总体标准差 σ = √8 ≈ 2.828

“x − x̄”一列加起来一定等于 0，可以用来检查有没有算错。

标准差公式​

样本标准差（除以 n − 1）：

总体标准差（除以 N）：

其中 $x_i$ 是每个数据，$\bar{x}$ 是样本平均数，$\mu$ 是总体平均数，$n$、$N$ 是数据个数。根号里面的部分就是方差（$s^2$ 或 $\sigma^2$），所以标准差是方差的算术平方根。

样本标准差和总体标准差用哪个​

• 总体：数据包含你要研究的全部对象，例如全班 30 人的考试成绩，而你只关心这 30 人。
• 样本：数据只是从更大的总体中抽取的一部分，要用它推断整体，例如抽 100 位消费者做问卷、做 10 次实验、取过去 12 个月的收益率。

实际中大多数数据都是样本，所以不确定时用样本标准差。Excel 的 STDEV、科学计算器的 sx 键和大多数统计软件默认也是样本标准差。题目写明“总体”或“全部数据”时才用总体标准差。

为什么样本要除以 n − 1？ 样本平均数 x̄ 是用同一批数据算出来的，数据到 x̄ 的距离会比到真正总体平均数 μ 的距离略小，直接除以 n 会让方差系统性偏小。改除以 n − 1（自由度）可以修正这个偏差，称为贝塞尔校正。数据越多，两者差别越小。

方差、变异系数、标准误​

• 方差：标准差的平方，单位是原单位的平方（如厘米²），所以描述数据时通常用标准差。
• 变异系数（CV）：标准差 ÷ 平均数 × 100%，用来比较单位或大小不同的数据的离散程度，例如身高（厘米）和体重（千克）。平均数接近 0 时没有意义。
• 标准误（SE）：样本标准差 ÷ √n，表示样本平均数本身的精确程度。样本越大，标准误越小。

Excel、WPS 表格的标准差函数​

例如数据在 A1 到 A10，输入 =STDEV.S(A1:A10) 就是样本标准差。

用标准差判断数据高低：68–95–99.7 法则​

如果数据大致服从正态分布（钟形曲线），大约有：

• 68% 的数据落在平均数 ± 1 个标准差内
• 95% 落在 ± 2 个标准差内
• 99.7% 落在 ± 3 个标准差内

例如考试平均 70 分、标准差 10 分，约 68% 的人在 60～80 分之间，约 95% 在 50～90 分之间；考 95 分就比平均高 2.5 个标准差，是非常突出的成绩。（一个值与平均数相差几个标准差，就是它的 z 分数。）

常见问题​

样本标准差和总体标准差有什么区别？用哪个？​

区别在于方差除以 n − 1（样本）还是除以 n（总体）。如果数据只是从更大总体中抽取的一部分、要用来推断整体，就用样本标准差；数据已经是要研究的全部对象时才用总体标准差。大多数情况下数据都是样本，不确定时用样本标准差。

为什么样本标准差要除以 n − 1？​

因为样本平均数是用同一批数据算出来的，数据与它的距离比与真正总体平均数的距离小，直接除以 n 会使方差偏小。除以 n − 1（自由度）可以修正这个偏差，称为贝塞尔校正。数据越多，两者差距越小。

标准差和方差有什么区别？​

方差是每个数与平均数之差的平方的平均数，标准差是方差的算术平方根。标准差的单位和原数据相同，更容易解读；方差的单位是平方，多用于统计公式推导。

Excel 怎么算标准差？​

样本标准差用 =STDEV.S(区域)，总体标准差用 =STDEV.P(区域)；旧函数 STDEV 是样本、STDEVP 是总体。方差用 VAR.S 和 VAR.P。也可以把整列数据复制后粘贴到本计算器，一次看到两种结果和计算过程。

标准差越大说明什么？​

说明数据越分散、彼此差异越大。例如两个班平均分都是 70，标准差 14 分的班级成绩高低差距比标准差 1.4 分的班级大得多。在投资中，收益率的标准差越大，波动和风险越高。标准差最小是 0，表示所有数据都相同。